Question

△ABC的两个顶点A、B的坐标分别是（-a，0），（a，0）（a＞0），边AC、BC所在直线的斜率之积等于k．①若k

△ABC的两个顶点A、B的坐标分别是（-a，0），（a，0）（a＞0），边AC、BC所在直线的斜率之积等于k．①若k=-1，则△ABC是直角三角形；②若k=1，则△ABC是直角三角形；③若k=-2，则△ABC是锐角三角形；④若k=2，则△ABC是锐角三角形．以上四个命题中正确命题的序号是______．

Answer 1

设C（x，y）由题意可得， y x+a ? y x-a = y 2 x 2 - a 2 =k （y≠0） 由AC，BC的斜率存在可知A≠90°，B≠90° ①k=-1，可得x 2 +y 2 =a 2 ，则 ∠C= π 2 ②k=1，可得x 2 -y 2 =1，而x 2 +y 2 =a 2 （y≠0）与x 2 -y 2 =1无公共点，即 ∠C≠ π 2 ，A≠90°，B≠90° ③k=-2，可得 x 2 a 2 + y 2 2 a 2 =1 ，而x 2 +y 2 =a 2 （y≠0），则C在在 x 2 a 2 + y 2 2 a 2 =1 上，同时在圆x 2 +y 2 =a 2 （y≠0）外，从而可得C＜90°，而K AC ?K BC ＜0可得直线AC的倾斜角为锐角，BC的倾斜角为钝角，故可得B＜90°，A＜90° ④当k=2时可得， x 2 a 2 - y 2 2 a 2 =1 ，同②可得C≠90°，但由K AC ?K BC ＞0可得两直线的倾斜角同时为锐角（或钝角）从而可得A，B中有一个锐角一个钝角 故答案为：①③