Question

已知在等差数列{a n }中，a 1 ＝31，S n 是它的前n项和，S 10 ＝S 22 .(1)求S n ；(2)这个数列的前多少项

已知在等差数列{a n }中，a 1 ＝31，S n 是它的前n项和，S 10 ＝S 22 .(1)求S n ；(2)这个数列的前多少项的和最大，并求出这个最大值．

Answer 1

（1）32n－n 2 （2）n＝16时，S n 有最大值256.

(1)∵S 10 ＝a 1 ＋a 2 ＋…＋a 10 ，S 22 ＝a 1 ＋a 2 ＋…＋a 22 ，S 10 ＝S 22 ，∴a 11 ＋a 12 ＋…＋a 22 ＝0， ＝0，即a 11 ＋a 22 ＝2a 1 ＋31d＝0.又a 1 ＝31，∴d＝－2， ∴S n ＝na 1 ＋ d＝31n－n(n－1)＝32n－n 2 . (2)解法1：由(1)知S n ＝32n－n 2 ，∴当n＝16时，S n 有最大值，S n 的最大值是256. 解法2：由S n ＝32n－n 2 ＝n(32－n)，欲使S n 有最大值，应有1<n<32，从而S n ≤ ＝256，当且仅当n＝32－n，即n＝16时，S n 有最大值256.