Question

如图，菱形ABCD的边长为48cm，∠A=60°，动点P从点A出发，沿着线路AB-BD做匀速运动，动点Q从点D同时出发

如图，菱形ABCD的边长为48cm，∠A=60°，动点P从点A出发，沿着线路AB-BD做匀速运动，动点Q从点D同时出发，沿着线路DC-CB-BA做匀速运动．（1）求BD的长；（2）已知动点P、Q运动的速度分别为8cm/s、10cm/s．经过12秒后，P、Q分别到达M、N两点，试判断△AMN的形状，并说明理由，同时求出△AMN的面积；（3）设问题（2）中的动点P、Q分别从M、N同时沿原路返回，动点P的速度不变，动点Q的速度改变为a cm/s，经过3秒后，P、Q分别到达E、F两点，若△BEF为直角三角形，试求a的值．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=48，
∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=48，
即BD的长是48cm；
（2）如图1，12秒后点P走过的路程为8×12=96，则12秒后点P到达点D，即点M与D点重合，
12秒后点Q走过的路程为10×12=120，而BC+CD=96，所以点Q到B点的距离为120-96=24，则点Q到达AB的中点，即点N为AB的中点，
∵△ABD是等边三角形，而MN为中线，
∴MN⊥AB，
∴△AMN为直角三角形，
∴S_△AMN=

1

2

S_△ABD=

1

2

×

3

4

×48²=288

3

（cm²）；
（3）∵△ABD为等边三角形，
∴∠ABD=60°，
经过3秒后，点P运动的路程为24cm、点Q运动的路程为3acm，
∵点P从点M开始运动，即DE=24cm，
∴点E为DB的中点，即BE=DE=24cm，
当点Q运动到F点，且点F在NB上，如图1，则NF=3a，
∴BF=BN-NF=24-3a，
∵△BEF为直角三角形，
而∠FBE=60°，
∴∠EFB=90°（∠FEB不能为90°，否则点F在点A的位置），
∴∠FEB=30°，
∴BF=

1

2

BE，
∴24-3a=

1

2

×24，
∴a=4；
当点Q运动到F点，且点F在BC上，如图2，则NF=3a，
∴BF=BN-NF=3a-24，
∵△BEF为直角三角形，
而∠FBE=60°，
若∠EFB=90°，则∠FEB=30°，
∴BF=

1

2

BE，
∴3a-24=

1

2

×24，
∴a=12；
若∠EFB=90°，即FB⊥BD，
而DE=BE，
∴点F在BD的垂直平分线上，
∴此时点F在点C处，
∴3a=24+48，
∴a=24，
综上所述，若△BEF为直角三角形，a的值为4或12或24．