如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长
解：在正方形ABCD中，∵AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，在△ABE和△DCF中，由
|
∴∠1=∠2．
同理可证△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2=∠3，∴∠1=∠3．
∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°，
∴∠1+∠BAH=90°，
∴∠AHB=180°-90°=90°．
取AB的中点O，连接OH、OD，
则OH=AO=
| 1 |
| 2 |
| AO2+AD2 |
| 1+4 |
| 5 |
根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
DH的最小值为OD-OH=
| 5 |
故答案为：
| 5 |
这道题的关键在于能够判断出 AH始终垂直于BE. 也就是说角AHB永远是直角. H是动点.
那么, 对于一个动点H来讲, 什么情况下角AHB一直是直角呢? 显然, 根据圆的知识, 这个H动点的轨迹是以AB为直径的圆上(直径对的圆周角永远是直角).
明白了H点的轨迹是个圆以后, 就非常好理解, 为什么只有在H点在D和圆心O的连线上的时候, DH 出现了最小值.
网上的很多回答直接取AB的中点,然后连线, 说明解题过程. 这种解法的一个重要的缺陷是, 这个取AB中点进行连线的想法是从何而来? 没有任何逻辑说明为什么会有这么个奇妙的想法. 就像魔术师突然从帽子里变出个兔子来.
【一些补充】
【做完后的回顾】 做完一道题后，总是要回顾一下，打扫战场。
这道题涉及到了动点的问题。动点-->动点的轨迹问题--- 平面几何中动点的轨迹无外乎直线，圆，椭圆，抛物线等。它会是什么呢？ ---- 观察图形。好像暂时看不出来。
没关系。试试看。照题目条件画画看，看动点的几个不同的位置。---猜想，可能是圆。 圆--- 那么圆的圆心在哪儿？ 回到题目去，观察图形，角AHB好像是直角，猜想对吗？试试看，看起来像。
如果是证明题的话，如何证明？
条件中有线段相等，正方形，直角，。。。在这种条件下，常见的做法有哪些？找全等。全等三角形有吗？好像有。往题目给出的条件靠拢。 做题中间，可以停下来问问自己， 我走在正确的方向上吗？ 好像是，为什么，因为题目的不少条件我能用上，好继续走下去。。。除了求出最小值外，还有没有其他的收获呢？ 比如说，看看H点和A点重合或者B点重合会是什么结果？ 可能重合吗？这个思维就是特殊化的思维。
这道题有没有其他的解法呢？等等。。。也许刚开始就应该找特殊化的例子，比如E.F点重合了呢，就是AD 的中点，这下应该容易多了吧，嗯，重合的时候，比较容易看出角AHB 是个直角。 有点用。
进一步思索，是不是这种思维方法有普遍性？也许以后碰到其他问题，可以尝试着先特殊化一下，特殊化是一个属于普遍化集合中的一个子集合，如果大的集合有某种规律的话，小的子集合必然也有。。。。
这儿只是举一些例子。做每一道题，都有要这样的思维过程，这样的话，就可以深刻
理解题目，锻炼自己的思维，举一反三，避免陷入题海战术。
解：在正方形ABCD中，∵AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，
在△ABE和△DCF中，由
AB＝CD
∠BAD＝∠CDA
AE＝DF
可得△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1=∠2．
同理可证△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2=∠3，∴∠1=∠3．
∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°，
∴∠1+∠BAH=90°，
∴∠AHB=180°-90°=90°．
取AB的中点O，连接OH、OD，
则OH=AO=
1
2
AB=1，在Rt△AOD中，OD=
AO2+AD2
=
1+4
=
5
．
根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
DH的最小值为OD-OH=
5
-1．
故答案为：
5
-1．
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