Question

如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD，∠ABC=∠ADC=90°，∠MAN=12∠BAD．（1）如图1，将∠MAN绕着A点旋

如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD，∠ABC=∠ADC=90°，∠MAN=12∠BAD．（1）如图1，将∠MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD于M、N，试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明；（2）如图2，将∠MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD的延长线于M、N，试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；（3）如图3，将∠MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD的反向延长线于M、N，试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明．

Answer 1

（1）证明：延长MB到G，使BG=DN，连接AG．
∵∠ABG=∠ABC=∠ADC=90°，AB=AD，
∴△ABG≌△ADN．
∴AG=AN，BG=DN，∠1=∠4．
∴∠1+∠2=∠4+∠2=∠MAN=

1

2

∠BAD．
∴∠GAM=∠MAN．
又AM=AM，
∴△AMG≌△AMN．
∴MG=MN．
∵MG=BM+BG．
∴MN=BM+DN．
（2）MN=BM-DN．
证明：在BM上截取BG，使BG=DN，连接AG．
∵∠ABC=∠ADC=90°，AD=AB，
∴△ADN≌△ABG，
∴AN=AG，∠NAD=∠GAB，
∴∠MAN=∠NAD+∠BAM=

1

2

∠DAB，
∴∠MAG=

1

2

∠BAD，
∴∠MAN=∠MAG，
∴△MAN≌△MAG，
∴MN=MG，
∴MN=BM-DN．
（3）MN=DN-BM．