Question

已知四边形ABCD中,AB⊥AD,BC⊥CD,AB=BC,∠ABC=120°,∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD,DC

已知四边形ABCD中,AB⊥AD,BC⊥CD,AB=BC,∠ABC=120°,∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD,DC（或它们的延长线）于E,F。
（1）当∠MBN绕点旋转到AE=CF时（图1）求证AE+CF=EF
（2）当∠MBN绕点旋转到AE不等于CF时，在图2和图3这两种情况下，上述是否成立？若成立，给予证明；若不成立，线段AE.CF,EF.又有怎样的数量关系？写出猜想，不需证明。

图在：http://hi.baidu.com/%D4%E1%B0%AE%B0%CB/album/%E9%BB%98%E8%AE%A4%E7%9B%B8%E5%86%8C

Answer 1

(1)将△ABE绕点B顺时针旋转120°得△BCG，显然GCF在一条直线上
证△BEF≌△BGF，可得GF=CG+CF=AE+CF=EF
（2）图2成立，图3不成立，关系是AE-CF=EF

Answer 2

图（2）结论不变（AE+CF=EF），思路为：根据题目已知条件可得，∠ABC=120°，所以当,
∠MBN=60°时，∠CBF+∠ABE=60°，易证AE+CF=EF。
图（3）结论为EF=AE-CF。思路为：当∠MBN=60°时，∠CBF必须小于30°，否则BM与AD在下方无交点。然后取特殊值，令∠CBF=15°或者0°，计算可得，EF=AE-CF。

Answer 3

三角形BCF全等于三角形BAE,所以EF=BF,角CBF=角ABF.因为角ABC=120度，角MBN=60度，所以角CBF=角ABF=30度，过B点做直线垂直于EF于点H,且三角形EBF是正三角形，所以三角形BCF=三角形BHF=三角形BAE=三角形BHE,（条件ASA）所以CF=HF=HE=AE,所以AE+CF=EF （2）依然相等为AE-CF=EF