Question

在平面直角坐标系中，一个二次函数的图象经过点A（1，0）、B（3，0）两点． （1）写出这个二次函数的对

在平面直角坐标系中，一个二次函数的图象经过点A（1，0）、B（3，0）两点． （1）写出这个二次函数的对称轴； （2）设这个二次函数的顶点为D，与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点E，连接AD、DE和DB，当△AOC与△DEB相似时，求这个二次函数的表达式。[提示：如果一个二次函数的图象与x轴的交点为 A，那么它的表达式可表示为： ]

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Answer 1

解：（1）对称轴为直线：x=2。 （2）∵A（1，0）、B（3，0），∴设这个二次函数的表达式 。 当x=0时，y=3a，当x=2时，y= 。 ∴C（0，3a），D(2,－a)，∴OC=|3a|。 ∵A（1，0）、E（2，0），∴OA=1,EB=1,DE=}-a|=|a|。 在△AOC与△DEB中， ∵∠AOC=∠DEB=90°，∴当 时，△AOC∽△DEB。 ∴ 时，解得 或 。 当 时，△AOC∽△BED， ∴ 时，此方程无解。 综上所述，所求二次函数的表达式为： 或 ，即 或 。

（1）由抛物线的轴对称性可知，与x轴的两个交点关于对称轴对称，易求出对称轴。 （2）由提示中可以设出函数的解析式，将顶点D与E的坐标表示出来，从而将两个三角形的边长表示出来，而相似的确定过程中充分考虑到分类即可解决此题。