Question

在四边形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC=2AD=4，E，F，G分别是BC，CD，AB的中点（如图1）．将四边形ABC

在四边形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC=2AD=4，E，F，G分别是BC，CD，AB的中点（如图1）．将四边形ABCD沿FG折成空间图形（如图2）后，（1）求证：DE⊥FG；（2）线段BG上是否存在一点M，使得AM ∥ 平面BDF？若存在，试指出点M的位置，并证明之；若不存在，试说明理由．

Answer 1

证明：（1）在图1中，因为∠ABC=∠BAD=90°，所以AD ∥ BC． 因为F，G分别是CD，AB的中点，所以FG ∥ AD ∥ BC． 在图2中，因为FG ∥ AD，FG ∥ BC，所以AD ∥ BC． 因为BC=2AD，E是BC的中点，所以AD=BE． 所以四边形ABED是平行四边形． 所以AB ∥ DE． 因为∠GAD=∠GBC=90°，FG ∥ AD，FG ∥ BC， 所以AG⊥FG，且BG⊥FG． 因为AG∩BG=G，且AG，BG?平面AGB，所以FG⊥平面AGB． 因为AB?平面AGB，所以FG⊥AB． 所以DE⊥FG． （2）当M在线段BG上，且BM=2MG时，AM ∥ 平面BDF． 证明如下： 在线段BF上取点N，使BN=2NF． 因为FG是梯形ABCD的中位线，BC=2AD=4， 所以FG ∥ AD，且FG=3． 因为BM=2ME，BN=2NF，所以MN ∥ FG，且MN= 2 3 FG=2. 所以 MN ∥ . . AD. 所以四边形MNDA是平行四边形． 所以AM ∥ DN． 又因为DN?平面BDF，AM?平面BDF， 所以AM ∥ 平面BDF．