Question

（2013?南京）如图，AD是⊙O的切线，切点为A，AB是⊙O的弦．过点B作BC∥AD，交⊙O于点C，连接AC，过点C作

（2013?南京）如图，AD是⊙O的切线，切点为A，AB是⊙O的弦．过点B作BC∥AD，交⊙O于点C，连接AC，过点C作CD∥AB，交AD于点D．连接AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且∠BCP=∠ACD．（1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB=9，BC=6．求PC的长．

Answer 1

解：（1）PC与圆O相切，理由为：
过C点作直径CE，连接EB，如图，
∵CE为直径，
∴∠EBC=90°，即∠E+∠BCE=90°，
∵AB∥DC，
∴∠ACD=∠BAC，
∵∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD．
∴∠E=∠BCP，
∴∠BCP+∠BCE=90°，即∠PCE=90°，
∴CE⊥PC，
∴PC与圆O相切；

（2）∵AD是⊙O的切线，切点为A，
∴OA⊥AD，
∵BC∥AD，
∴AM⊥BC，
∴BM=CM=

1

2

BC=3，
∴AC=AB=9，
在Rt△AMC中，AM=

AC2?CM2

=6

2

，
设⊙O的半径为r，则OC=r，OM=AM-r=6

2

-r，
在Rt△OCM中，OM²+CM²=OC²，即3²+（6

2

-r）²=r²，解得r=

27 2

8

，
∴CE=2r=

27 2

4

，OM=6

2

-