Question

（2012?惠州模拟）如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=2，E是PD的中点．（1

（2012?惠州模拟）如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=2，E是PD的中点．（1）求证：平面PDC⊥平面PAD；（2）求二面角E-AC-D所成平面角的余弦值．

Answer 1

（1）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD
∵御神AD⊥CD，PA、AD是平面PAD内的相交直线，∴CD⊥平面PAD
∵CD?平面PDC，
∴平面PDC⊥平面PAD；
（2）取AD中点O，敬埋连接EO，
∵△PAD中，EO是中位线，∴EO∥PA
∵PA⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD，
∵AC?平面ABCD，∴EO⊥AC
过O作OF⊥AC于F，连接EF，则镇稿亏
∵EO、OF是平面OEF内的相交直线，
∴AC⊥平面OEF，所以EF⊥AC
∴∠EFO就是二面角E-AC-D的平面角
由PA=2，得EO=1，
在Rt△ADC中，设AC边上的高为h，则AD×DC=AC×h，得h=

4 5

5

∵O是AD的中点，∴OF=

1

2

×

4 5

5

=

2 5

5

∵EO=1，∴Rt△EOF中，EF=

EO2+OF2

=

3 5

5

∴cos∠EFO=

OE

EF

=

2

3