Question

已知关于x，y的方程C：x2+y2+x-6y+m=0与直线l：x+2y-3=0．（Ⅰ）若方程C表示圆，求m的取值范围；（Ⅱ）若

已知关于x，y的方程C：x2+y2+x-6y+m=0与直线l：x+2y-3=0．（Ⅰ）若方程C表示圆，求m的取值范围；（Ⅱ）若圆C与直线l交于M，N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值．

Answer 1

（1）令D²+E-4F=1+36-4M＞0，
得m＜

37

4

，
∴m的取值范围为（-∞，

37

4

）．
（ II）设M（x₁，y₂），N（x₂，y₂），
∵OM⊥ON，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，①
由

x2+y2+x?6y+m＝0 x+2y?3＝0

消x得5y²-20y+m+12=0，
△=400-20（m+12）＞0，②
y1+y2＝

m+12

5

，y1+y2＝4y₁+y₂=4，y₁y₂=

m+12

5

，
又x₁x₂=（-2y₁+3）（-y₂+3）=4y₁y₂-6（y₁+y₂）+9=

4

5

(m+12)?15
代入①得，

4

5

(m+12)?15+

m+12

5

＝0，
求得m=3满足②，故为所求