Question

如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于E，AC⊥PQ于C，交⊙O于D．（1）求证：AE平分∠BAC；（2）若AD=2，EC=3，

如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于E，AC⊥PQ于C，交⊙O于D．（1）求证：AE平分∠BAC；（2）若AD=2，EC=3，∠BAC=60°，求⊙O的半径．

Answer 1

解答：（1）证明：连接OE，
∴OA=OE，
∴∠OEA=∠OAE．
∵PQ切⊙O于E，
∴OE⊥PQ．
∵AC⊥PQ，
∴OE∥AC．
∴∠OEA=∠EAC，
∴∠OAE=∠EAC，
∴AE平分∠BAC．

（2）解：连接BE，
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°．
∵∠BAC=60°，
∴∠OAE=∠EAC=30°．
∴AB=2BE．
∵AC⊥PQ，
∴∠ACE=90°，
∴AE=2CE．
∵CE=

3

，
∴AE=2

3

．
设BE=x，则AB=2x，由勾股定理，得
x²+12=4x²，
解得：x=2．
∴AB=4，
∴⊙O的半径为2．

Answer 2

证明：(1)连结OE,OE垂直于PQ
因为OE=OA,所以角OEA=角OAE,
又因为OE平行AC,所以角OEA=角EAC(内错角），即角OAE=角EAC
（2）因为∠BAC=60°，即∠EAC=30°,EC=3,即AE=6（30°角对应的直角边等于斜边的一半）
作OF垂直于AE,(垂直平分），∠OAF=30°,且AF=1/2AE=3,OF=1/2OA
设OF=X,解得X=根号3,
OA=2X=2倍根号3

Answer 3

1）辅助线连接OE，三角形OEA为等腰三角形，∠OEA=∠OAE，
因为E为切点，则OE//AC，∠BOE=∠BAC，∠OEA=∠EAC，且∠BOE 是外角，∠BOE=∠OEA+∠OAE=2×∠OAE=∠BAC，所以是 AE平分∠BAC
2）辅助线连接BD，则三角形BAD是直角三角形，∠BAC=60，那么AB=2×AD=4，则半径为2