Question

已知椭圆C中心为坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2 21 ，离心率为 1 2 （1）

已知椭圆C中心为坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2 21 ，离心率为 1 2 （1）求椭圆C的方程；（2）直线l：y=kx+m与椭圆C交于不同两点P，Q，且OP⊥OQ，求点O到直线l的距离．

Answer 1

（1）设椭圆C的方程为 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a＞b＞0) ． 由题意可得 e= c a = 1 2 2b=2 21 a 2 = b 2 + c 2 ，解得 b= 21 c= 7 a 2 =28 ， ∴椭圆C的方程为 x 2 28 + y 2 21 =1 ． （2）设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ）． 联立 y=kx+m x 2 28 + y 2 21 =1 ，消去y得到（3+4k 2 ）x 2 +8kmx+4m 2 -84=0． ∵△＞0，∴64k 2 m 2 -16（3+4k 2 ）（m 2 -21）=0，化为m 2 =21+28k 2 ．（*） ∴ x 1 + x 2 = -8km 3+4 k 2 ， x 1 x 2 = 4 m 2 -84 3+4 k 2 ．（**） ∵OP⊥OQ，∴ OP ? OQ =0 ． ∴x 1 x 2 +y 1 y 2 =0． 又y 1 y 2 =（kx 1 +m）（kx 2 +m）， ∴ (1+ k 2 ) x 1 x 2 +km( x 1 + x 2 )+ m 2 =0 ． 把（**）代入可得 (1+ k 2 )(4 m 2 -84) 3+4 k 2 + -8 k 2 m 2 3+4 k 2 + m 2 =0 ． 化为m 2 =12+12k 2 =12（1+k 2 ），∴ |m| 1+ k 2 =2 3 ． ∴点O到直线l的距离d= |m| 1+ k 2 = 2 3 ．

Answer 2

有我现在的机器理我了，我是无法回答的。