Question

已知函数 g(x)= 1- x 2 1+ x 2 (x≠0，x≠±1，x∈R) 的值域为A，定义在A上的函数f（x

已知函数 g(x)= 1- x 2 1+ x 2 (x≠0，x≠±1，x∈R) 的值域为A，定义在A上的函数f（x）=x -2 -x 2 （x∈A）．（1）判断函数f（x）的奇偶性； （2）判断函数f（x）的单调性并用定义证明； （3）解不等式f（3x+1）＞f（5x+1）．

Answer 1

（1）由 y= 1- x 2 1+ x 2 得 x 2 = 1-y 1+y ＞0 ，故-1＜y＜1，因此A=（-1，0）∪（0，1）．又 因为f（-x）=f（x），所以f（x）是偶函数； （2）设x 1 ＜x 2 ，则 f( x 1 )-f( x 2 )= 1 x 21 - x 21 - 1 x 22 + x 22 =( x 2 - x 1 )( x 2 + x 1 )(1+ 1 x 21 x 22 ) ， ①如果x 1 ，x 2 ∈（-1，0），那么x 1 +x 2 ＜0，故f（x 1 ）-f（x 2 ）＜0即f（x 1 ）＜f（x 2 ）； ②若x 1 ，x 2 ∈（0，1），则x 1 +x 2 ＞0，故f（x 1 ）-f（x 2 ）＞0即f（x 1 ）＞f（x 2 ）． 因此f（x）在（-1，0）单增，在（0，1）单减； （3）因为f（x）是偶函数，所以f（x）=f（|x|），从而原不等式化为f（|3x+1|）＞f（|5x+1|）． 故 |3x+1＜|5x+1 0＜|3x+1＜1 0＜|5x+1＜1 ，即 (8x+2)?2x＞0 - 2 3 ＜x＜0且x≠- 1 3 - 2 5 ＜x＜ 0且x≠- 1 5 ， 解得 - 2 5 ＜x＜- 1 3 或- 1 3 x＜- 1 4 ，从而原不等式的解集为 {x|- 2 5 ＜x＜- 1 3 或- 1 3 x＜- 1 4 } ．