Question

如图（1），AB是⊙O的直径，且AB=10，C是⊙O上的动点，AC是弦，直线EF和⊙O相切于点C，AD⊥EF，垂足为D．

如图（1），AB是⊙O的直径，且AB=10，C是⊙O上的动点，AC是弦，直线EF和⊙O相切于点C，AD⊥EF，垂足为D．（1）求证：∠DAC=∠BAC；（2）若AD和⊙O相切于点A，求AD的长；（3）若把直线EF向上平行移动，如图（2），EF交⊙O于G、C两点，题中的其他条件不变，这时与∠DAC相等的角是否存在，并证明．

Answer 1

（1）证明：连接OC，如图（1），
∵EF切⊙O于C，
∴OC⊥EF，
∵AD⊥EF，
∴OC∥AD，
∴∠DAC=∠OCA，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠BAC．

（2）解：连接OC，如图（3），
∵AD切⊙O于A，
∴OA⊥AD，
∵AD⊥EF，OC⊥EF，
∴∠OAD=∠ADC=∠OCD=90°，
∴四边形OADC是矩形，
∵OA=OC，
∴矩形OADC是正方形，
∴AD=OA，
∵AB=2OA=10，
∴AD=OA=5．

（3）解：存在∠BAG=∠DAC，
理由是：连接BC，如图（2），
∵AB是⊙O直径，
∴∠BCA=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∵∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠BCG，
∵圆周角∠BAG和∠BCG都对弧BG，
∴∠BCG=∠BAG，
∴∠BAG=∠DAC．