Question

设曲线C为圆周x2+y2=R2，则曲线积分∮C（x2+y2-3x）ds=______

设曲线C为圆周x2+y2=R2，则曲线积分∮C（x2+y2-3x）ds=______．

Answer 1

由于

∮

C

（x²+y²-3x）ds=

∮

C

(x2+y2)ds-

∮

C

3xds
由第一类曲线积分性质，知

∮

C

(x2+y2)ds=

∮

C

R2ds=2πR³
而C：

x＝Rcost y＝Rsint

，0≤t≤2π
∴ds＝

x′2(t)+y′2(t)

dt＝Rdt
∴

∮

C

3xdx＝3

∫

2π 0

Rcost?Rdt＝0
∴原式=2πR³