Question

x4+（m-1）x3+mx2+（m-1）x+1=0有两个不同的实数根，则m的取值范围是______

x4+（m-1）x3+mx2+（m-1）x+1=0有两个不同的实数根，则m的取值范围是______．

Answer 1

x⁴+（m-1）x³+mx²+（m-1）x+1=x⁴-x³-x+1+mx³+mx²+mx
=x⁴-x-x³+1+mx（x²+x+1）
=x（x³-1）-（x³-1）+mx（x²+x+1）
=（x-1）（x³-1）+mx（x²+x+1）
=（x-1）²（x²+x+1）+mx（x²+x+1）
=[（x-1）²+mx]（x²+x+1）
=[x²+（m-2）x+1]（x²+x+1）．
则原方程可转化为[x²+（m-2）x+1]（x²+x+1）=0．
∵x²+x+1=（x+

1

2

）²+

3

4

＞0，
∴x²+（m-2）x+1=0．
由题可得：（m-2）²-4×1×1＞0，
则有m²-4m＞0，即m（m-4）＞0，
则有

m＞0 m?4＞0

或

m＜0 m?4＜0

，
解得：m＞4或m＜0．
故答案为：m＞4或m＜0．