Question

已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1)．

已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1)．(1)若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围．

Answer 1

解(1)由定义域为R.则ax^2+2x+1>0恒成立
若a=0时,则真数=2x+1>0不是恒成立，不合题意
若a≠0时，ax^2+2x+1>0恒成立则它和x轴没有交点，即判别式小于0
所以4-4a<0
a>1

(2)由函数值域为R，则真数要取到所有的正数
若a=0,则真数=2x+1可以取到所有的正数，成立
若a≠0时，ax^2+2x+1是二次函数，要取到所有的正数
则开口向上，且最小值不能大于0，否则0和最小值之间的正数取不到
所以函数和x轴有公共点，所以Δ≥0
所以4-4a≥0
故a≤1
综上，a≤1且a≠0

Answer 2

若定义域为R，则g(x)=ax²+2x+1恒＞0
即a＞0并且判别式△=4-4a=4(1-a)＜0
a＞1

若值域为R，则g(x)=ax²+2x+1必须能取到所有正数
a＜0时，g(x)=ax²+2x+1开口向下，不符合要求；
a=0时，g(x)=2x+1为直线，符合要求；
a＞0时，g(x)=ax²+2x+1开口向上，必须判别式△=4-4a=4(1-a)≥0，a≤1
∴0≤a≤1时值域为R