Question

计算曲面积分?Σxyzdxdy，其中Σ是球面x2+y2+z2=1在第五卦限的外侧

计算曲面积分?Σxyzdxdy，其中Σ是球面x2+y2+z2=1在第五卦限的外侧．

Answer 1

结果为：4π

解题过程如下：

解：原式=∫∫(x²+y²+z²)dS+∫∫2xydS+ ∫∫2yz dS+∫∫ 2xzdS

=∫∫a ²dS +0+0+0

=∫∫[D] x^2dxdy

=∫∫[D] y^2dxdy

=∫∫[D] x^2dxdy

=(1/2)∫∫[D] x^2+y^2dxdy

=(1/2)∫[0->2π]∫[0->2] r^3 drdθ

=4π

扩展资料

计算曲面积分的方法：

性质：

曲面积分物理意义来源于对给定密度函数的空间曲面，计算该曲面的质量。第二型曲面积分物理意义来源对于给定的空间曲面和流体的流速，计算单位时间流经曲面的总流量。

Answer 2

由于球面x²+y²+z²=1在第五卦限部分，有z＝?

1?x2?y2

，且第五卦限部分在xoy面的投影为
Dxy＝{(x，y)|0≤x2+y2≤1，0≤x≤1，0≤y≤1}={(r，θ)|0≤r≤1，0≤θ≤

π

2

}
∴

?

Σ

xyzdxdy=?

∫∫

Dxy

xy(?

1?x2?y2

)dxdy
=

∫

π 2 0

sinθcosθdθ

∫

1 0

r2

1?r2

?rdr
=

1

4

∫

1 0

r2

1?r2

dr2
=

1

4

(

2

3

?

3

5

)＝

1

60