Question

已知函数f(x)＝2cos2x+23sinxcosx+1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）当x∈[0，π

已知函数f(x)＝2cos2x+23sinxcosx+1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）当x∈[0，π4]时，求函数y=f（x）的值域．

Answer 1

（Ⅰ）∵f(x)＝2cos2x+2

3

sinxcosx+1=cos2x+

3

sin2x+2=2sin（2x+

π

6

 ）+2．
∴最小正周期T=

2π

2

=π，由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，
可得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
∴单调递增区间为 （kπ-

π

3

，kπ+

π

6

 ），k∈z．
（Ⅱ）∵0≤x≤

π

4

，∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

2π

3

，∴

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1；
∴1≤2sin(2x+

π

6

)≤2，∴3≤2sin(2x+

π

6

)+2≤4，
∴函数y=f（x）的值域为[3，4]．