Question

已知函数f(x)＝2sin2x+23sinxcosx+1．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的单调递增区间；（3）求

已知函数f(x)＝2sin2x+23sinxcosx+1．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的单调递增区间；（3）求f（x）在[0，π2]上的最值及取最值时x的值．

Answer 1

（1）因为f(x)＝2sin2x+2

3

sinxcosx+1=1?cos2x+2

3

sinxcosx+1…（1分）
=

3

sin2x?cos2x+2=2sin(2x?

π

6

)+2，…（3分）
所以f（x）的最小正周期T＝

2π

2

＝π．…..（4分）
（2）因为f(x)＝2sin(2x?

π

6

)+2，由2kπ?

π

2

≤2x?

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)，…（6分）
得kπ?

π

6

≤x≤kπ+

π

3

(k∈Z)，…..（7分）
所以f（x）的单调增区间是[kπ?

π

6

，kπ+

π

3

](k∈Z)．…（8分）
（3）因为0≤x≤

π

2

，所以?

π

6

≤2x?

π

6

≤

5π

6

．…..…（9分）
所以?

1

2

≤sin(2x?

π

6

)≤1．…..…..…．（10分）
所以f(x)＝2sin(2x?

π

6

)+2∈[1，4]．…..…（12分）
当2x?

π

6

＝?

π

6

，即x=0时，f（x）取得最小值1．…..…（13分）
当2x?

π

6

＝

π

2

，即x＝

π

3

时，f（x）取得最大值4．…..…（14分）