Question

（2014?燕山区一模）已知关于x一元二次方程x2-2（k+1）x+k2-2k-3=0有两个不相等的实数根（1）求k取值范围

（2014?燕山区一模）已知关于x一元二次方程x2-2（k+1）x+k2-2k-3=0有两个不相等的实数根（1）求k取值范围；（2）当k最小的整数时，求抛物线y=x2-2（k+1）x+k2-2k-3的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标；（3）将（2）中求得的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你画出这个新图象，并求出新图象与直线y=x+m有三个不同公共点时m值．

Answer 1

（1）由题意，得△=4（k+1）²-4（k²-2k-3）=16k+16＞0，
∴k＞-1，
∴k的取值范围为k＞-1；

（2）∵k＞-1，且k取最小的整数，∴k=0．
∴y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
则抛物线的顶点坐标为（1，-4），
∵y=x²-2x-3的图象与x轴相交，
∴0=x²-2x-3，
∴解得：x=-1或3，
∴抛物线与x轴相交于A（-1，0），B（3，0）；

（3）翻折后所得新图象如图所示．
平移直线y=x+m知：直线位于l₁和l₂时，它与新图象有三个不同的公共点．
①当直线位于l₁时，此时l₁过点A（-1，0），
∴0=-1+m，即m=1．                    
②当直线位于l₂时，此时l₂与函数y=-x²+2x+3的图象有一个公共点，
∴方程x+m=-x²+2x+3，
即x²-x-3+m=0有两个相等实根，
∴△=1-4（m-3）=0，
即m=

13

4

．                                
当m=

13

4

时，x₁=x₂=

1

2

满足-1≤x≤3，
由①②知m=1或m=

13

4

．