Question

求一道中考数学题详解 急

抛物线y=--x2+2x+3与x负半轴交于点A，与y轴交于点C，问：在抛物线上是否存在点N使ANC是等腰三角形？符合条件的点有几个？ 求出点N坐标。

Answer 1

解：当x=0时，y=3 ,所以点C坐标为（0，3）
当y=0时，x=-1或3，所以点A坐标为（-1，0）
此时AC距离为根号10，AC中点坐标为（-1/2，3/2）
AC中垂线为：x+3y-4=0,
求出中垂线与抛物线的交点，这二点会使ANC为等腰三角形

再令点N坐标为（X，Y）
则x^2+(y-3)^2=10(CN距离=AC）
因C点距抛物线顶点距离=根号2小于圆半径，所以圆x^2+(y-3)^2=10与抛物线只有二个交点且其中一点为（-1，0）不符
另有（x+1)^2+y^2=10（AN距离=AC），此时圆（x+1)^2+y^2=10与抛物线有二个交点且其中一点为（0，3）不符

总的有四个点可以使ANC成为等腰三角形。

Answer 2

将y=0带入，x1=-1，x2=3
∴A(-1,0),C(3,0)
N1在对称轴上，N1（1,4）
N2C=AC，AC=4,N2C=4
∴4^2-（3-x）^2=y
16-(9+x^2-6x)=-x^2+2x+3
得x=-1
∴N2(-1,0)(舍去）
对称点N3（3，0）(舍去）
∴一个，N(1,4)