Question

初二数学几何（平行四边形）解答题

如图所示,E是平行四边形ABCD的边DA的延长线上的一点,且AE=AD,联结EC交AB，BD于点F，G,
求证：(1)BF=AF
(2)若S平行四边形=36cm²，DG：GB=DE：BC，求△GBC的面积

Answer 1

⑴ 在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC
∴∠BCF＝∠E，∠FBC＝∠FAE，BC＝AD＝AE
∴⊿FBC≌⊿FAE﹙ASA﹚
∴BF＝AF

⑵ ∵BG：GD=BC：ED＝BC：﹙EA＋AD﹚＝BC：2BC＝1∶2
∴S⊿CGB∶S⊿CGD＝﹙½·BG·C到BD的距离﹚∶﹙½·GD·C到BD的距离﹚＝BG∶GD＝1∶2
∴S⊿CGB∶S⊿CBD＝S⊿CGB∶﹙S⊿CGB＋S⊿CGD﹚＝S⊿CGB∶3S⊿CGB＝1∶3
S⊿CGB＝1/3×S⊿CBD＝1/3×½×CD·B到CD的距离＝1/3×½×S平行四边形ABCD＝1/3×½×36＝6 。

Answer 2

(1)证明：

∵ E是平行四边形ABCD的边DA的延长线上的一点,且AE=AD

∴ AD=BC（平行四边形对边相等）

∴ AE=BC （等量代换）

∴ DE∥BC

∴ ∠E=∠BCE （两直线平行，内错角相等）

∴∠BAE=∠ABC（两直线平行，内错角相等）

∴ △AEF≌△CBF（角边角）

∴ BF=AF （全等三角形，对应边相等）

（2） 解：

过C做CH⊥BD于点H

∵AE=AD=BC

∴DE=2BC

∵DG：GB=DE：BC

∴DG：GB=2：1

S△CDG=DG*BH/2

S△GBC=GB*BH/2

∴S△GBC：S△CDG=GB：DG=1:2

∴S△GBC：S△BCD=S△GBC：(S△GBC+S△CDG)=1:3

BD是平行四边形ABCD的对角线，S平行四边形=36cm²

∴S△BCD=S平行四边形/2=18cm²

∴S△GBC=18÷3=6 cm²