Question

已知函数f(x)=x³+ax²+bx+c在x=-1与x=2处取得极值

已知函数f(x)=x³+ax²+bx+c在x=-1与x=2处取得极值
（1）求a,b的值及函数f（x）的单调区间；
（2）若对x∈[-2，3]，不等式f（x）+3c/2＜c²恒成立，求实数c的取值范围。

Answer 1

f(x)=x³+ax²+bx+c
f ′(x)=3x²+2ax+b
在x=-1与x=2处取得极值
f ′(x)=3(x+1)(x-2)
=3x²-3x-6
a=-3/2，b=-6f（x单调增区间：
(-∞，-1)，(2，+∞)
单调减区间：
(-1，2)

第二问：
x∈[-2，3]，
f（x）+3c/2＜c²
x³-3/2x²-6x+c+3c/2＜c²
g(x)=x³-3/2x²-6x+5c/2-c²＜0恒成立
在区间【-2，3】
x属于(-2，-1)和(2，3)时单调增；x属于(-1，2)时单调减
需要讨论g(-1)和g(3)的大小，两者中的较大者＜0
g(-1)=-1-3/2+6+5c/2-c²=7/2+5c/2-c²
g(3)=27-27/2-18+5c/2-c²=-9/2+5c/2-c²＜g(-1)
∴g(-1)=7/2+5c/2-c²＜0
2c²-5c-7＞0
(2c+7)(c-1)＞0
x＜-7/2，或c＞1

Answer 2

,