Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-（2/3）与x=1 时都取得极值。 （1）求a，b

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-（2/3）与x=1 时都取得极值。
（1）求a，b的值及函数f（x）的单调区间
（2）若对x属于[-1， 2]，不等式f（x）＜c²恒成立，求c的取值范围。

谢谢

Answer 1

（1）
∵f（x）＝x^3＋ax^2＋bx＋c，∴f′（x）＝3x^2＋2ax＋b。

∵f（x）在x＝－2/3、x＝1时都有极值，∴方程3x^2＋2ax＋b＝0的两根是：－2/3、1，
∴由韦达定理，有：2a/3＝－（－2/3＋1）＝－1/3、b/3＝－2/3，∴a＝－1/2、b＝－2。

∵f′（x）＝3x^2＋2ax＋b＝3x^2－x－2＝（3x＋2）（x－1），令f′（x）＜0，得：－2/3＜x＜1。
∴f（x）的增区间是（－∞，－2/3）∪（1，＋∞），减区间是（－2/3，1）。

（2）
由（1）的结论可知，在［－1，2］上，当x＝1时，f（x）有最小值且最小值＝1－1/2－2＋c。
依题意，只需要：1－1/2－2＋c＜c^2，∴c^2－c＞－3/2，∴（c－1/2）^2＞－5/4。
这自然是恒成立的，∴c的取值范围是（－∞，＋∞）。