Question

在锐角三角形ABC中，AD、BE、CF是各边上的高，P、Q分别在线段DF、EF上，且角PAQ与角DCA同向相等

求证：AP平分角FPQ.

Answer 1

作出△APQ的外接圆,

延长PF交圆于R,

分别连结RA、RQ 

由图可知,AQPR内接于圆

∴∠PRQ=∠PAQ=∠DAC=2 1∠DFE

由外角定理得,∠PRQ+∠FQR=∠DFE

∴FC∥RQ

∴AF⊥RQFR=FQ

∴AF垂直平分RQ

∴∠ARQ=∠AQR又AQPR内接于圆

∴∠APQ=∠ARQ∠APR=∠AQR

 ∴∠APQ=∠APR∴AP平分∠FPQ