Question

已知函数f(x)=ax∧3-3/2x∧2+1(x属于 R)，其中a>0 若在区间【-1/2，1/2

已知函数f(x)=ax∧3-3/2x∧2+1(x属于
R)，其中a>0
若在区间【-1/2，1/2】上，f(x)>0恒成立，求a的范围。

Answer 1

f(x)'=3ax^2-3x (a>0)
f(x)'=0 得 x=0 或 x=1/a
x在[-1/2,0] [1/a,∞）单增 [0,1/a]单减
a≥2时 ,1/a≤1/2 f(x)最小值为f(1/a)或f(-1/2)
f(1/a)=1/a^2-3/2*1/a^2+1=1-1/2*1/a^2＞0 解得a＞2^½ ∴a≥2
f(-1/2)= -a/8-3/8+1=-a/8+5/8＞0 解得a＜5
∴2≤a＜5
0＜a＜2时 ,1/a＞1/2 f(x)最小值为f(1/2)或f(-1/2)
f(1/2)=a/8-3/8+1=a/8+5/8＞0 恒成立
f(-1/2)= -a/8-3/8+1=-a/8+5/8＞0 解得a＜5 ∴0＜a＜2
综上可得 a的取值范围 0＜a＜5

求采纳

Answer 2

f(x)=(2/3)x^3-ax^2-3x+1
所以：f'(x)=2x^2-2ax-3
f(x)在(-1,1)上为减函数，则说明f'(x)=2x^2-2ax-3在(-1,1)上小于零
设二次函数g(x)=2x^2-2ax-3，它开口向上，对称轴为x=a/2
①当x=a/2≤-1，即a≤-2时，则满足g(1)≤0就有g(x)在(-1,1)均小于零。所以：g(1)=2-2a-3≤0
所以，a≥-1/2
而a≤-2，所以这种情况不可能。
②当x=a/2≥1，即a≥2时，则满足g(-1)≤0就有g(x)在(-1,1)均小于零。所以：g(-1)=2+2a-3≤0
所以，a≤1
而a≥2，所以这种情况也不可能。
③当-1＜x=a/2＜1，即：-2＜a＜2时，则满足g(1)≤0且g(-1)≤0就有g(x)在(-1,1)均小于零。
所以：由g(1)=2-2a-3≤0得到：a≥-1
由g(-1)=2+2a-3≤0得到：a≤1
所以，-1≤a≤1

Answer 3

Answer 4

解析

在区间[-
1
2
，
1
2
]上，f（x）>0恒成立等价于在区间[-
1
2
，
1
2
]上，f（x）min>0，由此利用导数性质能求出a的取值范围．
解答

∵函数f(x)=ax3−32x2+1,(x∈R,a>0)

∴f′(x)=3ax2−3x，

由f′(x)=0,得x=0,或x=1a，

①当1a⩾12，0<a⩽2时，

∵f(−12)=58−a8,f(12)=58+a8,f(0)=1，

∴在区间[−12,12]上,f(x)min=58−a8，

∵在区间[−12,12]上,f(x)>0恒成立，

∴f(x)min=58−a8>0，解得a<5，

∴0<a⩽2.

②当1a<12，a>2时，

∵f(−12)=58−a8,f(12)=58+a8,f(0)=1,f(1a)=1−12a2，

∴在区间[−12,12]上,f(x)min=58−a8，

∵在区间[−12,12]上,f(x)>0恒成立，

∴f(x)min=58−a8>0，解得a<5，

∴2<a<5.

综上所述,a的取值范围是(0,5