Question

判断函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1的单调性

Answer 1

in(x)里的x必须要>0
所以可以知道f(x)的定义域x>0 且 in(x)是单调递增的
①a>=0 →a+1>=1
ax^2是单调递增的
所以f(x)是单调递增的
②-1<a<0
(这个不太好解释，你可以尝试用定义法来算，就是任取0<x1<x2，会得到f(x1)>f(x2))
所以f(x)是单调递减的
③a<=-1 →a+1<=0 →(a+1)in(x)是单调递减的
ax^2是单调递减的 (a=-1时 a+1=0 但 -x^2在x>0的范围上是递减的)
所以f(x)是单调递减的

综上所述：a>=0，f(x)单调递增；a<0，f(x)单调递减。

Answer 2

f (x) = (a+1)lnx +ax² + 1 定义域：x>0
f ' (x) = (a+1)/x +2ax > 0
[(a+1) + 2ax²]/x>0 又x>0
∴(a+1) + 2ax² >0
当a>=0时f ' (x) > 0
即：当a>=0时 f(x) 在 定义域内单调递增。
当a<-1时 f ' (x) < 0 ∴ f(x) 在定义域内单调递减。
当-1<=a<0时 f ' (x) 的符号不好判断。