Question

已知定义在（0,+∞）上的函数f(x)为单调函数，且f(x).f[f(x)+1/x]=1，则f(x)=?

Answer 1

只能求出f(1)的值，无法确定f(x),要想确定，需先给出f(x)的函数类型！！

设f(1)=t,则f(1)f[f(1)+1/1]=1,即t*f(t+1)=1,
f(t+1)=1/t

又f(t+1)*f[f(t+1)+1/(t+1)]=1，即1/t*f[1/t+1/(t+1)]=1
即f[1/t+1/(t+1)]=t

又f(1)=t,知f(1)=f[1/t+1/(t+1)],由f(x)是定义在（0,+无穷）上的单调函数知
1/t+1/(t+1)=1
即t^2-t-1=0

解得:t=(1±根号5)/2 (经检验，当t=(1+根号5)/2时，f(x)单减，当t=(1-根号5)/2时，f(x)单增）

Answer 2

有难度，望而却步。

xy4-y3-2xy+1=0

其中y=f(x)+1/x

解方程。。。。。。

Answer 3

f(x).f[f(x)+1/x]=1
设f(x)=a/x (单调函数)
f[f(x)+1/x]=f[(a+1)/x]=ax/(a+1)
=1/f(x) (f(x)定义在（0,+∞）,f(x)≠0)
=x/a
a/(a+1)=1/a
a^2=a+1
a^2-a-1=0
a=(-1±(1+4)^(1/2))/2=(-1±(5)^(1/2))/2
f(x)=a/x=(1/x)*(-1±(5)^(1/2))/2

Answer 4

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