Question

线性代数，特征值个数跟特征向量个数什么关系？题目n个不同的特征值说明了什么？谢谢

Answer 1

n阶矩阵最多有n个不同的特征值。

矩阵可以有无数个特征向量。

相同特征值可以对应不同的特征向量，不同特征值一定对应不同的特征向量。

设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。式Ax=λx也可写成( A-λE)X=0。这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式| A-λE|=0。

扩展资料：

若B可逆，则原关系式可以写作  ，也即标准的特征值问题。当B为非可逆矩阵（无法进行逆变换）时，广义特征值问题应该以其原始表述来求解。

如果A和B是实对称矩阵，则特征值为实数。这在上面的第二种等价关系式表述中并不明显，因为  A矩阵未必是对称的。

求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：

第一步：计算的特征多项式；

第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；

第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组：

[注]：若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一确定。反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值。

参考资料：百度百科——矩阵特征值

Answer 2

n阶矩阵最多有n个不同的特征值
矩阵可以有无数个特征向量
相同特征值可以对应不同的特征向量，不同特征值一定对应不同的特征向量

追问

是不是k重特征值可以有k个特征向量，这些特征向量线性相关吗

无关

追答

不一定，如果矩阵相似于对角阵，那么它的k重特征值对应k个线性无关的特征向量

追问

这相似于对角阵什么意思呢？

是可以化简为只有对角线上不为零的矩阵的意思吗

追答

存在可逆矩阵P使得P^-1AP=B称为A相似于B
对角阵就是只有主对角钱上元素不为零的方阵

不是化简

追问

哦。。。真复杂啊

谢谢