Question

对于函数f(x),满足f(x+y)=f(x)*f(y),能否证明这是个指数函数？

Answer 1

（1）先证明x为整数的情况,设x=n（正整数),则f(n)=f^n(1)
令f(1)=a,则f(n)=a^n
令x=0,则f(0)=f(0)^2,故f(0)=0或1
显然f(0)不为0,否则f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)=0为常数函数
又f(0)=f(n-n)=f(n)f(-n)=1,f(-n)=1/f(n)=a^(-n)
（2）证明有理数情形
设x=m/n(m,n为整数,n非0),则f(m)=f(m/n*n)=f(m/n)^n=a^m
f(m/n)=a^(m/n)
(3)证明实数情形
当y趋于0时,limf(x+y)=limf(x)f(y)=f(x)*limf(y)=f(x)*f(0)=f(x)*1=f(x)
注意f(x)在点x=0处连续lim(x趋于0）f(x)=a^0=1
所以f(x)为R上的连续函数,因此有f(x)=a^x(x属于任何实数）

追答

有看不懂的环节可以问

Answer 2

可以用特殊值法来求算，(柯西法也能证明，部分可能看不懂)如下:
f1=f0*f1 f0=1
f2=f1*f1
f3=f1*f2=f1*f1*f1
f4=f2*f2=4f1
所以该函数形如fx=A的x次方。
f0=1（x的零次方。）
f1=a
f2=a²
f3=a³等等
具体的a需要在题目中体现，如f2=4
a²=4 a=2
高中阶段数学还有以下结论
f（x+y）=f(x)*f(y) 形如指数函数 已证
f（xy）=f(x)*f(y) 形如对数函数(容易推导)
底数相同的话,相加后真数就是之前两个真数相乘：例如：log(a) b +log(a) c = log(a) (bc)

f（x+y）=f(x)＋f(y)＋b 形如一次函数(容易推导)
令y=kx+b，有k(x+y)+b=kx+b+ky+b－b这里要注意，由于多加了一个b要再减去一个b。有些题目会出f（x+y）=f(x)＋f(y)＋b 就意味着他多减了一个b，同理，f（x+y）=f(x)＋f(y)－b 就意味着多加了一个b。
f（xy）=f(x)*f(y) 形如幂函数(y=X的a次方。)
列如:x²=x¹*x²这里的x=1,y=2。
这些结论可以自己去推导，更容易记住。如果高中在函数这一块想拿高分就必须将抽象的函数化为已知的具体函数。谢谢采纳!

Answer 3

能够证明是指数函数

追问

怎么证明

追答

可以百度

Answer 4

百度一下