Question

已知函数f(x)=√（x²-2x=2）+√（x²-4x+8），求f(x)的最小值，并求取得最小值是X的值

请给出详细的解答过程和思路。
我只知道单个配方求最值，但是不知道怎么让他们都是最小的。

Answer 1

将已知条件变形为
y=√{( x- 1)^2+(0-1)^2}+√{( x- 2)^2+(0-2)^2}
故设M( x, 0) , A( 1,1) , B( 2, 2)
∴y=||MA|+|MB||.
则上式的几何意义为: x 轴上的点M( x, 0) 到点
A( 1, 1) 与点B( 2, 2) 的距离的和的绝对值.
而A(1,1)关于x轴的对称点为A'（1，-1）
则最小距离为|A'B|=√10
直线A'B为y=3x-4
M在直线A'B上，所以M（4/3,0）

PS:如果两根式之间的符号为“-”，则可以求它们的最大值

Answer 2

将√x²-2x+2配成√(x-1)^2+(0-1)^2,它表示(x,0)到(1,1)的距离,
同理√（x²-4x+8配成(）+√（x-2)^2+(0-2)^2,它表示(x,0)到(2,2)的距离.
问题转化为在x轴上求一点,使其到(1,1),(2,2)的距离最短.
求(1,1)关于x轴的对称点(1,-1),则(1,-1)与(2,2)的距离√(1-2)^2+(-1-2)^2
=√10.
经过(1,-1)与(2,2)的直线方程为y=3x-4,令y=0,则x=4/3.