Question

设A 求可逆矩阵C 使得C^TAC为对角阵 A=0 1 -2 1 0 -1 -2 -1 0

Answer 1

所求C=（1 1 1；1 -1 2；0 0 1）

由A可知其二次型 f(x1 x2 x3)=2x1x2-4x1x3-2x2x3， 

令x1=y1+y2, x2=y1-y2, x3=y3,

可得:f=2（y1-3/2 y3）^2-2（y2+1/2 y3）^2-4（y3）^2，

所得对角阵为（2 0 0；0 -2 0；0 0 -4）；x=（1 1 0；1 -1 0； 0 0 1）y 

令z1=y1-3/2 y3;  z2=y2+1/2 y3;  z3=y3, 

有z=（1 0 -3/2；0 1 1/2；0 0 1）y，

所以y=（1 0 -3/2；0 1 1/2；0 0 1）的逆再乘以z，

即y=（1 0 3/2；0 1 -1/2；0 0 1）z；

所以x=（1 1 0；1 -1 0； 0 0 1）*（1 0 3/2；0 1 -1/2；0 0 1）z=（1 1 1；1 -1 2；0 0 1）z，

最终即所求C=（1 1 1；1 -1 2；0 0 1）

扩展资料:

逆矩阵的定义和性质:

1. 设A为n阶矩阵，若存在n阶矩阵B使得:AB=BA=E(单位矩阵)，则称A是可逆的且矩阵B是矩阵A的逆矩阵，如下：

2.矩阵A的逆矩阵的表示方法，如下：

3.逆矩阵和伴随矩阵的关系:

Answer 2

解出3个特征值之后，代入相应特征方程，解出基础解系，得到特征向量

然后施密特正交化，即可得到矩阵C

并使得C^TAC=diag(-2,1+√3,1-√3)

Answer 3

由A可知其二次型 f(x1 x2 x3)=2x1x2-4x1x3-2x2x3，
令x1=y1+y2, x2=y1-y2, x3=y3,得f=2（y1-3/2 y3）^2-2（y2+1/2 y3）^2-4（y3）^2，
所得对角阵为（2 0 0；0 -2 0；0 0 -4）；x=（1 1 0；1 -1 0； 0 0 1）y
令z1=y1-3/2 y3; z2=y2+1/2 y3; z3=y3, 有z=（1 0 -3/2；0 1 1/2；0 0 1）y，所以y=（1 0 -3/2；0 1 1/2；0 0 1）的逆再乘以z，即y=（1 0 3/2；0 1 -1/2；0 0 1）z；所以x=（1 1 0；1 -1 0； 0 0 1）*（1 0 3/2；0 1 -1/2；0 0 1）z=（1 1 1；1 -1 2；0 0 1）z，即所求C=（1 1 1；1 -1 2；0 0 1）