Question

如图，抛物线y=ax2+bx-4（a≠0）与x轴交于A（4，0）、B（-1，0）两点，过点A的直线y=-x+4交抛物线于点C.

如图，抛物线y=ax2+bx-4（a≠0）与x轴交于A（4，0）、B（-1，0）两点，过点A的直线y=-x+4交抛物线于点C.（1）求此抛物线的解析式；（2）在直线AC上有一动点E，当点E在某个位置时，使△BDE的周长最小，求此时E点坐标；（3）当动点E在直线AC与抛物线围成的封闭线A→C→B→D→A上运动时，是否存在使△BDE为直角三角形的情况.若存在，请直接写出符合要求的E点坐标；若不存在，请说明理由.
求大神解决，作业不会了

Answer 1

（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过A（-1，0），B（4，0）两点，
∴a-b+2=016a+4b+2=0，
解得：a=-12b=32
∴y=-12x2+32x+2；
当y=2时，-12x2+32x+2=2，解得：x1=3，x2=0（舍），
即：点D坐标为（3，2）．

（2）A，E两点都在x轴上，AE有两种可能：
①当AE为一边时，AE∥PD，
∴P1（0，2），
②当AE为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，
可知P点、D点到直线AE（即x轴）的距离相等，
∴P点的纵坐标为-2，
代入抛物线的解析式：-12x2+32x+2=-2
解得：x1=3+

412，x2=3-

412，
∴P点的坐标为（3-

412，-2），（3+

412，-2）
综上所述：P1（0，2）；P2（3-

412，-2）；P3（3+

412，-2）．

（3）存在满足条件的点P，显然点P在直线CD下方，设直线PQ交x轴于F，点P的坐标为（a，-12a2+32a+2），

①当P点在y轴右侧时（如图1），CQ=a，
PQ=2-（-12a2+32a+2）=12a2-32a，
又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠COQ′=∠Q′FP=90°，
∴∠FQ′P=∠OCQ′，
∴△COQ′∽△Q′FP，Q′CCO=Q′PFQ′，a2=12a2-32aQ′F，
∴Q′F=a-3，
∴OQ′=OF-Q′F=a-（a-3）=3，CQ=CQ′=

CO2+OQ2=

32+22=

13，
此时a=

13，点P的坐标为（

13，-9+3

132），
②当P点在y轴左侧时（如图2）此时a＜0，-12a2+32a+2＜0，CQ=-a，
PQ=2-（-12a2+32a+2）=12a2-32a，
又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠CQ′O+∠OCQ′=90°，
∴∠FQ′P=∠OCQ′，∠COQ′=∠Q′FP=90°，
∴△COQ′∽△Q′FP，Q′CCO=Q′PFQ′，-a2=12a2-32aQ′F，Q′F=3-a，
∴OQ′=3，
CQ=CQ′=

CO2+OQ2=

32+22=

13，
此时a=-

13，点P的坐标为（-

13，-9-3

132）．
综上所述，满足条件的点P坐标为（

13，-9+3

132），（-

13，-9-3

132）．