Question

如图△OAB、△OCD为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°

（1）如图1，点C在OA边上，点D在OB边上，连接AD、BC，M为线段AD的中点，求证：OM⊥BC
（2）如图2，在图1的基础上，江△OCD饶点O逆时针旋转α（α为锐角），M为线段AD的中点。
①线段OM与线段BC是否存在某种确定的数量关系？写出并证明你的结论；
②OM⊥BC是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明原因。

Answer 1

1、证明：
∵△AOB和△COD是等腰直角三角形，∴OA＝OB，OD＝OC，∠AOB＝90°
∴△AOD和△BOC全等，∴∠OAD＝∠OBC，
∵M是AD中点，∴OM＝AM，∴∠OAD＝∠MOA，
∴∠OBC＝∠MOA ∵∠MOA+∠MOB＝∠AOB＝90°，∴∠OBC+∠MOB＝90°
∴∠BMO＝180°-90°＝90°，∴OM⊥BC。
2、
结论：BC＝2OM。OM⊥BC。
图2、延长OM至E，使OM＝EM，连接AE，又AM＝DM，∠AME＝∠DMO
∴△AME和△DMO全等，∴AE＝DO，∠EAM＝∠ODM
∵△AOB和△COD是等腰直角三角形，
∴OA＝OB，① OD＝OC，∠AOB＝∠DOC＝90°
∴AE＝OC。②
∵∠OAE＝∠OAD+∠EAM＝＝∠OAD+∠ODM＝180°-∠AOD
∠BOC＝∠AOB+∠COD-∠AOD＝90°+90°-∠AOD＝180°-∠AOD
∴∠OAE＝∠BOC，③
由①②③可得，△OAE和△BOC全等，∴OE＝BC，∠AOE＝∠OBC，
∵OE＝2OM，∴BC＝2OM。
延长BC交OE于F，∵∠AOE+∠BOE＝∠AOB＝90°，∴
∠OBC+∠BOE＝90° ∴∠BFO＝180°-90°＝90°，∴OE⊥BF
即OM⊥BC。