Question

已知实数xy满足关系式xy-x-y=1则x^2+y^2的最小值为

Answer 1

xy-x-y=1，
所以x+y=xy-1，
可以认为x和y是方程m²-（x+y）m+xy=0的两个实数根。
所以判别式△=（x+y）²-4xy=（xy-1）²-4xy=x²y²-6xy+1=（xy-3）²-8≥0，
所以xy≥3+2√2，或xy≤3-2√2。
（x+y）²=（xy-1）²，
x²+2xy+y²=x²y²-2xy+1，
x²+y²=x²y²-4xy+1=（xy-2）²-3，
所以xy=3+2√2时，x²+y²=（3+2√2-2）²-3=6+4√2是最小值。

Answer 2

xy-x-y=1，
所以x+y=xy-1，
可以认为x和y是方程m²-（x+y）m+xy=0的两个实数根。
所以判别式△=（x+y）²-4xy=（xy-1）²-4xy=x²y²-6xy+1=（xy-3）²-8≥0，
所以xy≥3+2√2，或xy≤3-2√2。
（x+y）²=（xy-1）²，
x²+2xy+y²=x²y²-2xy+1，
x²+y²=x²y²-4xy+1=（xy-2）²-3，
所以xy=3+2√2时，x²+y²=（3+2√2-2）²-3=6+4√2是最小值。是错的。
应该是：所以取xy=3-2√2时，x²+y²=（3-2√2-2）²-3=6-4√2是最小值。
因为，3-2√2-2的绝对值比3+2√2-2的绝对值小。

Answer 3

引用zhuiximengduan的回答：
xy-x-y=1，
所以x+y=xy-1，
可以认为x和y是方程m²-（x+y）m+xy=0的两个实数根。
所以判别式△=（x+y）²-4xy=（xy-1）²-4xy=x²y²-6xy+1=（xy-3）²-8≥0，
所以xy≥3+2√2，或xy≤3-2√2。
（x+y）²=（xy-1）²，
x²+2xy+y²=x²y²-2xy+1，
x²+y²=x²y²-4xy+1=（xy-2）²-3，
所以xy=3+2√2时，x²+y²=（3+2√2-2）²-3=6+4√2是最小值。

6-4根号2才是正确的，应该代3-2根号2