Question

高三数学，立体几何，详细过程

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Answer 1

第一个图===================
第一题,

(1)因为PA垂直底面,AC就是PC的垂直投影

又因DC垂直AC,即DC垂直于PC的投影,则DC垂直PC
同时根据线垂直平面的两个线,则DC垂直平面PAC
所以垂直于任何一个PAC上的任何直线,故DC垂直于AE

(2)因为∠ABC=60°,AB=BC 所以△ABC是等边,
所以AC=AB=PA,所以△PAC等腰直角三角形(直角也容易证明,但这里不需要直角条件)
所以AE垂直PC
显然因为DC垂直PC的投影AC,所以DC垂直PC,扩展为DC垂直于三角形PAC
所以DC垂直三角形PAC上所有直线,包含AE
又因AE垂直PC,所以AE垂直DC和PC形成的平面即PCD
所以AE垂直PCD上任何直线
做DC中点设为F,连接EF,有AE垂直EF
由于E和F都是中点,所以EF//PD

所以AE垂直PD
又因PD垂直AB(也是根据面线三垂,PA,AB,AD三者推导出来,过程不证)
所以PD垂直于AE和AB形成的平面ABE 得证

第二题实际上是第一题第二小题的答案
只不过是求二面角的角度余弦值
在BE取Q,使得AQ垂直BE CQ垂直BE
这∠AQC就是此二面角
为了简化线段长度描述与一定比例,令AB=BC=AC=PA=1
首先由A是P的投影,可证明PB=PC =√2 则AE=CE=√2/2
∠PCB的余弦值=1/(2√2) 就是BC的一半/PC

∠PCB的正弦值=√(7/8)
做EH垂直BC于H
则EH=EC*√(7/8) =√7 /4 CH=EC*1/(2√2) =1/4
所以BH=3/4 BE=(BH^2+EH^2)^(1/2)=1

确定三角形ABE线段长度关系 AB=BE=1 AE=√2/2后
就容易用等面积法求BE上的高AQ或Q的位置
不难得到EQ=1/4 AQ=√7 /4
再根根据三角形AQC线段关系,利用等面积法,最后得到∠AQC的余弦值=1/7

第二个图======================
第一题,最简单的方式就是做整个直三棱柱的原点对称镜像,对称原点是A1C的中点称为O
明显现有相互重合的对称点有A对C1,A1对C
额外作出的有 对称B的对称点为B' B1的对称点B1' D的对称点D'
则连接AB' 连接DD'一定有AB'//BC1//DD'
且DD'必过对称点O,DO是三角形A1DC上的线段
平行于线,必平行于线所在面,所以BC1//A1CD

第二题

根据底面的三个边长度,可以求得面积,不难,何况明显看出是等腰直角三角形面积=2*2/2=2
则体积是底面积乘以高=2*2=4

第三题
各个小题都很奇怪没有像第二题一样的假设长度无法计算啊