Question

观音菩萨到底是属于道教的还是属于佛教的

Answer 1

都是。

如果把佛教比喻做大学，那么道教就是小学。
一位小学生将来考入大学，那他是属于大学的还是属于小学的？
观世音菩萨也一样，曾经也是道人。释迦牟尼佛久远世之前，也是道人。
道教修行到了一定阶段，要想再深入的话，就必须修习佛法了。这是智慧的层次，没办法。