设连续函数f(x)满足f(x)=e^x-∫(0,x)f(t)dt,求f(x)
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对已知式求导得f'(x)=e^x-f(x),设y=f(x),得
y'+y=e^x,①
由y'+y=0得y=ce^(-x),
设y=c(x)*e^(-x),则y'=[c'(x)-c(x)]e^(-x),
代入①，c'(x)=e^(2x),
c(x)=(1/2)e^(2x)+c,
∴f(x)=(1/2)e^x+ce^(-x),
代入已知式，(1/2)e^x+ce^(-x)=e^x-∫<0,x>[(1/2)e^t+ce^(-t)]dt
=e^x-[(1/2)e^x-ce^(-x)-1/2+c],
比较得c=1/2.
∴f(x)=[e^x+e^(-x)]/2.
y'+y=e^x,①
由y'+y=0得y=ce^(-x),
设y=c(x)*e^(-x),则y'=[c'(x)-c(x)]e^(-x),
代入①，c'(x)=e^(2x),
c(x)=(1/2)e^(2x)+c,
∴f(x)=(1/2)e^x+ce^(-x),
代入已知式，(1/2)e^x+ce^(-x)=e^x-∫<0,x>[(1/2)e^t+ce^(-t)]dt
=e^x-[(1/2)e^x-ce^(-x)-1/2+c],
比较得c=1/2.
∴f(x)=[e^x+e^(-x)]/2.
追问
答案为 fx=e^x(1+x)
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