Question

推理与证明数学题

设定义域为R的函数ƒ(x)=1\│x-1│(x≠1),ƒ(x)=1(x=1).关于X的方程ƒ²（x)+bƒ(x)+c=0有3不同实数解X1、X2、X3，则X1²+X2²+X3²=( )
A13
B5
C(2b²+2)／b²
D(3c²+2)／c²

Answer 1

选B。
若1+b+c≠0，则ƒ²（x)+bƒ(x)+c=0可能有两解、四解。
然而，关于X的方程ƒ²（x)+bƒ(x)+c=0有3不同实数解X1、X2、X3。
所以，当x=1时，使方程ƒ²（x)+bƒ(x)+c=0成立，则1+b+c=0
若x≠1，那么ƒ(x)=1是关于ƒ(x)的方程ƒ²（x)+bƒ(x)+c=0的唯一解，
于是， 此时1\│x-1│=1，即│x-1│=1，即 x=0 或x=2
从而X1²+X2²+X3²=1²+0²+2²=5
（思路不全，仅供参考）

Answer 2

对于任意f(x)≠1且f(x)>0,都有两解。
ƒ²（x)+bƒ(x)+c=0
首先要保证b*b-4c>0
这样f(x)有2个值。
为了使只有3个实数解 ，必然有一个f(x)=1.
这样就有了1＋b+c=0
且b*b－4c>0
x1=1
因为两个f(x)相加＝－b.
所以另一个f(x)=-b-1(注：必然>0)
│x-1|＝1/（-b-1)
得x2=1-1/(b+1)
x3=1+1/(b+1)
代入换算：
结果选D