Question

已知f(x)=x+xlnx，若k属于z，且k（x-2）＜f（x）对任意的x＞2恒成立，则k的最大值为？

谢谢！

Answer 1

（1）因为f′（x）=lnx+2，
令f′（x）=lnx+2＞0，得x＞
1
e2
；
令f′（x）=lnx+2＜0，得0＜x＜
1
e2
；
所以f（x）的递增区间为（
1
e2
，+∞），f（x）的递减区间为（0，
1
e2
）．
（2）由（1）知，f（x）=x•（1+lnx），所以k（x-2）＜f（x）对任意x≥32恒成立，
即k＜
x+xlnx
x−2
对任意x≥32恒成立．
令g（x）=
x+xlnx
x−2
，则g′（x）=
−2lnx+x−4
(x−2)2
，
令h（x）=-2lnx+x-4，（x≥32）则h′（x）=
x−2
x
＞0在x≥32恒成立，
所以函数h（x）在x≥32上单调递增．
因为h（32）=28-10ln2＞0，所以g′（x）＞0在x≥32恒成立
g（x）min=g（32）=
16
15
(1+5ln2)，
∴k＜
16
15
(1+5ln2)．

Answer 2

用导数 求极值 最值 令F(x)=k(x-2)-f(x)=k(x-2)-x-xlnx 由已知 在x>2 时 F(x)<0恒成立 之后就是经典的恒成立问题 用导数做就行 老师应该都有讲吧