Question

设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=（1/2）n（an）+an-c（c是常数，n∈N*），a2=6

（1）求c的值及{an}的通项公式；
（2）证明：（1/a1a2）+：（1/a2a3）+-----+：（1/ana（n+1））＜1/8

Answer 1

（1）
从公式里有a1=1/2*a1+a1-c.所以a1=2c
a1+a2=a2+a2-c,所以a2=3c=6，
所以得到c=2。a1=4
an=sn-s（n-1）=(1/2*n+1)an-(1/2*n+1/2)a(n-1)
所以有an/a（n-1）=（n+1）/n
用累乘的方法可以得到an/a1=(n+1)/2
所以an=2（n+1）
（2）
(1/a1×a2)+(1/a2×a3)+L+(1/an×an+1)
=1/4*(1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/(n+1)-1/(n+2))=1/4*(1/2-1/(n+2))<1/4*1/2=1/8