Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1+a5=17．（1）若{an}为等差数列，且S8=56．①求该等差数列的公差d；②设

已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1+a5=17．（1）若{an}为等差数列，且S8=56．①求该等差数列的公差d；②设数列{bn}满足bn=3n?an，则当n为何值时，bn最大？请说明理由；（2）若{an}还同时满足：①{an}为等比数列；②a2a4=16；③对任意的正整数k，存在自然数m，使得Sk+2、Sk、Sm依次成等差数列，试求数列{an}的通项公式．

Answer 1

（1）①由题意，得

2a1+4d＝17 8a1+28d＝56

，解得d=-1…（4分）
②由①知a1＝

21

2

，所以an＝

23

2

?n，则b_n=3ⁿ?a_n=3ⁿ?（

23

2

?n），…（6分）
因为b_n+1-b_n=2×3ⁿ×（10-n）…（8分）
所以b₁₁=b₁₀，且当n≤10时，数列{b_n}单调递增，当n≥11时，数列{b_n}单调递减，
故当n=10或n=11时，b_n最大…（10分）
（2）因为{a_n}是等比数列，则a₂a₄=a₁a₅=16，又a₁+a₅=17，所以

a1＝1 a5＝16

或

a1＝16 a5＝1

…（12分）
从而an＝2n?1或an＝(?2)n?1或an＝16×(

1

2

)n?1或an＝16×(?

1

2

)n?1．
又因为S_k+2、S_k、S_m依次成等差数列，得2S_k=S_k+2+S_m，而公比q≠1，
所以2×

a1(1?qk)

1?q

=

a1(1?qk+2)

1?q

+

a1(1?qm)

1?q

，即2=q²+q^m-k  （*）…（14分）
当an＝2n?1时，（*）式不成立；当an＝(?2)n?1时，解得m=k+1；
当an＝16×(

1

2

)n?1时，（*）式不成立；当an＝16×(?

1

2

)n?1时，（*）式不成立．
综上所述，满足条件的是an＝(?2)n?1…（16分）