Question

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5=5，S7=28．（1）求数列的通项{an}； （2）求数列{1Sn}的前n..

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5=5，S7=28．（1）求数列的通项{an}； （2）求数列{1Sn}的前n项和Tn；（3）若数列{bn}满足b1=1，bn+1=bn+qan（q＞0，n∈N*），求数列{bn}的通项公式，并比较bn?bn+2与bn+12的大小．

Answer 1

（1）设等差数列{a_n}为d，
∵a₅=5，S₇=28．
∴

a1+4d＝5 7a1+ 7×6 2 d＝28

，
解得

a1＝1 d＝1

，
∴a_n=1+（n-1）=n．
（2）∵Sn＝

n(n+1)

2

，
∴

1

Sn

＝

2

n(n+1)

＝2[

1

n

?

1

(n+1)

]，
∴Tn＝2[(1?

1

2

)+(

1

2

?

1

3

)+…+(

1

n

?

1

n+1

)]＝2(1?

1

n+1

)＝

2n

n+1

．
（3）∵bn+1?bn＝qn，
∴当n≥2时，b_n=b₁+（b₂-b₁）+…（b_n-b_n-1）=1+q+q²+…q^n-1=

n，(q＝1) 1?qn 1?q (q≠1)

当n=1时，b₁=1满足上式，
∴bn＝

n，(q＝1) 1?qn 1?q (q≠1)

．
当q=1时，bn?bn+2?bn+12＝n(n+2)?(n+1)2＝?1＜0，
当q≠1时，bn?bn+2?bn+12＝

1?qn

1?q

?

1?qn+2

1?q

?(

1?qn+1

1?q

)2＝?qn＜0，
∴bn?bn+2＜bn+12．