Question

不用洛必达法则，怎么求 lim x→1，(x-x²)/(sinπx)？

不用洛必达法则，怎么求 lim x→1，(x-x²)/(sinπx)？不用洛必达法则，求当x趋于1，(x-x∧2)/(sinπx)极限

Answer 1

设t=x-1，则x=t+1
原式=lim(t→0)[(t+1)-(t+1)²]/sinπ(t+1)
=lim(t→0)(-t-t²)/sin(πt+π)
=lim(t→0)(t+t²)/sinπt
=lim(t→0)(t+t²)/(πt)
【t→0时，sinπt~πt】
=lim(t→0)(1+t)/π
=1/π

Answer 2

实际上这类问题就算你不用洛必达法则也会转化为使用洛必达法则的。。。只不过你在无意识中把洛必达法则又证了一遍。。。比如这道题x-x2趋于零和下面正弦的式子趋于零的问题，从直观上就要转化为切线斜率之比的问题。当然，你也可以使用泰勒公式，把正弦函数转化为幂级数，从形式上与分子的式子统一，就可以求极限了，但那样似乎更麻烦。

Answer 3

追问

第二步，sinπx应该是等于sin(π-πx)，结果是1/π