x+y=1 求1/2x+x/（y+1）的最小值
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x+y=1则y+1=2-x
1/(2x)+x/(2-x)
=1/(2x)+(x-2+2)/(2-x)
=1/(2x)-1+2/(2-x)
=1/(2x)-1+4/(4-2x)
因为2x+(4-2x)=4
所以4[1/(2x)+4/(4-2x)]
=[2x+(4-2x)][1/(2x)+4/(4-2x)]
=1+8x/(4-2x)]+(4-2x)/(2x)+4
=5+8x/(4-2x)]+(4-2x)/(2x)≥5+2√[8x/(4-2x)]*(4-2x)/(2x)]
=5+2√4
=9
所以
1/(2x)+4/(4-2x)≥9/4
则1/(2x)-1+4/(4-2x)≥5/4
所以原式最小值是5/4
1/(2x)+x/(2-x)
=1/(2x)+(x-2+2)/(2-x)
=1/(2x)-1+2/(2-x)
=1/(2x)-1+4/(4-2x)
因为2x+(4-2x)=4
所以4[1/(2x)+4/(4-2x)]
=[2x+(4-2x)][1/(2x)+4/(4-2x)]
=1+8x/(4-2x)]+(4-2x)/(2x)+4
=5+8x/(4-2x)]+(4-2x)/(2x)≥5+2√[8x/(4-2x)]*(4-2x)/(2x)]
=5+2√4
=9
所以
1/(2x)+4/(4-2x)≥9/4
则1/(2x)-1+4/(4-2x)≥5/4
所以原式最小值是5/4
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