这个函数表达式怎么求?高等数学
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这是个微分方程问题。
方程两边令x=1,得f(1)-0=1-3,所以f(1)=-2。
方程两边求导,f(x)+xf'(x)-4f(x)=2x,所以f'(x)-3/x*f(x)=2。
令u=f(x),则u'-3u/x=2。这是个一阶线性非齐次微分方程。
先求解u'-3u/x=0,分离变量得du/u=3dx/x,两边积分得lnu=3lnx+lnC,所以u=Cx^3。
设u'-3u/x=2的解是u=C(x)x^3,代入微分方程,C'(*x)x^3+C(x)*3x^2-3C(x)x^2=2,所以C'(x)=2/x^3,积分得C(x)=-1/x^2+C。
所以u'-3u/x=2的通解是u=x^3(-1/x^2+C)=-x+Cx^3。
所以f(x)=-x+Cx^3。
再由f(1)=-2,得C=-1。
所以f(x)=-x-x^3。
方程两边令x=1,得f(1)-0=1-3,所以f(1)=-2。
方程两边求导,f(x)+xf'(x)-4f(x)=2x,所以f'(x)-3/x*f(x)=2。
令u=f(x),则u'-3u/x=2。这是个一阶线性非齐次微分方程。
先求解u'-3u/x=0,分离变量得du/u=3dx/x,两边积分得lnu=3lnx+lnC,所以u=Cx^3。
设u'-3u/x=2的解是u=C(x)x^3,代入微分方程,C'(*x)x^3+C(x)*3x^2-3C(x)x^2=2,所以C'(x)=2/x^3,积分得C(x)=-1/x^2+C。
所以u'-3u/x=2的通解是u=x^3(-1/x^2+C)=-x+Cx^3。
所以f(x)=-x+Cx^3。
再由f(1)=-2,得C=-1。
所以f(x)=-x-x^3。
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