Question

设函数f(x)在(-∞,+∞)上连续可导,求lim1/4a^2∫[f(t+a)-f(t-a)]dt

设函数f(x)在(-∞,+∞)上连续可导,求lim1/4a^2∫[f(t+a)-f(t-a)]dta→0+ (-a到a)

Answer 1

lim(a->0) ∫(-a->a) [f(t+a)-f(t-a)] dt / (4a^2) ; 0/0, 分子分母分别求导
=lim(a->0) [f(a+a)-f(a-a)] +[f(-a+a)-f(-a-a)]/ (8a)
=lim(a->0) [f(2a)-f(-2a)]/ (8a) ; 0/0, 分子分母分别求导
=lim(a->0) [2f'(2a)+2f'(-2a)]/ 8
=(1/2)f'(0)

追问

可以的小伙子

可以的小伙子

Answer 2

先用积分中值定理，得到lim1/2a[f(m+a)-f(m-a)](-a＜m＜a)
再用拉格朗日中值定理，得到limf'(n)（-a＜n＜a）则原式等于f'(0)