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微分方程问题 证明y(t)也是一个解

微分方程问题 证明y(t)也是一个解第九题 求解 谢谢

Answer 1

解法一：∵t和tlnt是原方程线性无关的两个特解 ∴根据定理知，原方程的通解是 x=C1*tlnt+C2*t (C1,C2是积分常数)；解法二：（去掉多余的已知条件“已知t,tlnt是微分方程x``-x`/t+x/t^2=0的解”，直接求解）令z=lnt，则tx'=dx/dz，t2x''=d2x/dz2-dx/dz ∵x``-x`/t+x/t2=0 ==>t2x''-tx'+x=0 ==>(d2x/dz2-dx/dz)-dx/dz+x=0 ∴d2x/dz2-2dx/dz+x=0..........(1) ∵方程(1)的特征方程是r2-2r+1=0，则r=1(二重根) ∴方程(1)的通解是x=(C1*z+C2)e^z (C1,C2是积分常数) ==>x=(C1*lnt+C2)t=C1*tlnt+C2*t 故原方程的通解是x=(C1*lnt+C2)t=C1*tlnt+C2*t (C1,C2是积分常数)。